1) Fonction polynomiale — $f(x)=x^2-3x+2$
Zéros : résoudre $x^2-3x+2=0$ donne $x=1$ et $x=2$.
Dérivée : $f'(x)=2x-3$. Stationnaire : $f'(x)=0\iff x=\tfrac{3}{2}$.
Variation : décroissante sur $(-\infty,\tfrac{3}{2}]$, croissante sur $[\tfrac{3}{2},+\infty)$. Valeur minimale : $f(\tfrac{3}{2})= -\tfrac{1}{4}$.
Limites : $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty$ (parabole). Parité : ni paire ni impaire.
Montrer les calculs
Discriminant $\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot2=9-8=1$. Racines : $\dfrac{3\pm1}{2}=1,2$.
Minimum en $x=\tfrac{3}{2}$ : $f(\tfrac{3}{2})=(\tfrac{3}{2})^2-3(\tfrac{3}{2})+2=\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2}+2=-\tfrac{1}{4}$.
2) Fonction rationnelle — $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$
Asymptotes : verticale $x=2$. horizontale $y=0$.
Limites : $\lim_{x\to2^-}g(x)=-\infty$, $\lim_{x\to2^+}g(x)=+\infty$, $\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0$.
Dérivée : $g'(x)=-\dfrac{1}{(x-2)^2}<0$ sur chaque intervalle de définition — la fonction est strictement décroissante.
Explication
Comme le numérateur est constant et le dénominateur change de signe autour de $2$, on obtient des bornes infinies de signes opposés. La décroissance provient du carré au dénominateur dans la dérivée.
3) Fonction racine — $h(x)=\sqrt{x+3}$
Dérivée : $h'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+3}}$ pour $x>-3$ (strictement positive).
Limites : $\lim_{x\to-3^+}h(x)=0$, $\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$. La fonction est strictement croissante.
4) Exponentielle — $k(x)=e^x$
Dérivée : $k'(x)=e^x>0$. Fonction strictement croissante.
Limites : $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$. Asymptote horizontale : $y=0$ quand $x\to-\infty$.
5) Logarithme — $m(x)=\ln(x)$
Dérivée : $m'(x)=\dfrac{1}{x}>0$ (sur $x>0$) — strictement croissante.
Limites : $\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$. Asymptote verticale : $x=0$ (axe des ordonnées non atteint).
6) Trigonométrique — $p(x)=\sin(x)$
Parité : impaire. Période : $2\pi$. Bornes : $[-1,1]$.
Dérivée : $p'(x)=\cos(x)$. Exemple de variation locale : croissante sur $[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]$ et décroissante sur $[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}]$.
Tableau récapitulatif
| Fonction | Domaine | Parité | Limites clés / Asymptotes |
|---|---|---|---|
| $x^2-3x+2$ | $\mathbb{R}$ | Ni | $\lim_{x\to\pm\infty}=+\infty$ |
| $\dfrac{1}{x-2}$ | $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ | Ni | Asymptote $x=2$, $y=0$ |
| $\sqrt{x+3}$ | $[ -3,+\infty[$ | — | Commence en $(-3,0)$, tend vers $+\infty$ |
| $e^x$ | $\mathbb{R}$ | — | $\lim_{x\to-\infty}=0$ |
| $\ln x$ | $]0,+\infty[$ | — | Asymptote verticale $x=0$ |
| $\sin x$ | $\mathbb{R}$ | Impaire | Périodique $2\pi$, bornée $[-1,1]$ |