1. Rappels fondamentaux

Une fonction associe à chaque nombre x d'un domaine Df au plus un y. Exemple : f(x)=1/(x-2) définie sur \mathbb{R}\setminus\{2\}.

2. Étapes de l'étude (méthode)

(1) Domaine — trouver valeurs interdites (divisions, racines, logarithmes...).
(2) Parité — tester f(-x)=f(x) (paire) ou f(-x)=-f(x) (impaire).
(3) Limites & asymptotes — limites aux bornes du domaine; asymptotes verticales/horizontales/obliques.
(4) Continuité & dérivabilité — vérifier sur le domaine.
(5) Dérivée — calculer f'(x), étudier son signe, dresser le tableau de variations.
(6) Convexité — étudier f''(x), points d'inflexion.
(7) Tracé — assembler asymptotes, symétries, variations pour tracer la courbe.

3. Exemple complet

Fonction : f(x)=x/(x-1)

Domaine : \mathbb{R}\setminus\{1\}
Asymptote verticale : x=1
Asymptote horizontale : y=1
Dérivée : f'(x) = -1/(x-1)^2 < 0 → décroissante

4. Méthode rapide & astuces

  • Commence toujours par le domaine — ça évite des erreurs.
  • Pour une fraction rationnelle, rechercher d'abord les asymptotes en regardant degré numérateur / dénominateur.
  • Utilise le signe de f'(x) pour repérer maxima/minima locaux; si f'(x)=0 et change de signe → extremum.

5. Exercices possibles (suggestions)

  1. Étudier f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1} (parité, limites, dérivée, variations).
  2. Étudier f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1} (domaine + limites + dérivées sur le domaine).
  3. Tracer f(x)=\dfrac{2x+3}{x-2} et vérifier asymptotes.