Parité d'une fonction
1. Définition
La parité d'une fonction concerne la symétrie de son graphe par rapport à l'axe des ordonnées.
On distingue deux types de fonctions :
a) Fonction paire
Une fonction f est paire si pour tout x :
f(-x) = f(x)
Graphiquement : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Exemple : f(x) = x², f(x) = cos(x)
b) Fonction impaire
Une fonction f est impaire si pour tout x :
f(-x) = -f(x)
Graphiquement : symétrie par rapport à l’origine.
Exemple : f(x) = x³, f(x) = sin(x)
c) Fonction ni paire ni impaire
Si une fonction ne vérifie aucune des conditions ci-dessus, elle est ni paire ni impaire.
Exemple : f(x) = x + 1
2. Propriétés importantes
- Somme de fonctions paires → paire
- Somme de fonctions impaires → impaire
- Somme d’une paire et d’une impaire → ni paire ni impaire
- Produit de deux fonctions paires → paire
- Produit de deux fonctions impaires → paire
- Produit d’une paire et d’une impaire → impaire
- Dérivée d’une fonction paire → impaire
- Dérivée d’une fonction impaire → paire
3. Comment vérifier la parité
- Remplacer x par -x
- Simplifier
- Comparer : f(-x) = f(x) → paire, f(-x) = -f(x) → impaire, sinon ni l’un ni l’autre
Exemples :
1. f(x) = x² + 3 → paire
2. f(x) = x³ - x → impaire
3. f(x) = x² + x → ni paire ni impaire
4. Test interactif
Saisis une fonction de x (ex : x^2, x^3-x, x+1) :